Hallo, wir sprechen heute über Eigenwerte und zwar insbesondere für den Spezialfall

von symmetrischen und posig befindenden Matrizen.

Aber bevor wir es konkretisieren, schauen wir uns erstmal eine ganz normale Matrix A

in R hoch n towards n an.

Und aus der Erstsemester Mathematik Vorlesung wissen Sie, dass manche Matrizen diagonalisierbar

sind und diagonalisierbare Matrizen lassen sich darstellen in dieser Form hier.

A ist gleich das Produkt von drei anderen Matrizen S mal D mal S mal S mal minus 1.

Wobei S eine Matrix ist, in deren Spalten sich Eigenvektoren von A befinden.

S auf minus 1 ist die inverse Matrix dazu.

Das bedeutet natürlich, dass das Produkt von S und S auf minus 1 die Identitätsmatrix

ist und auch das Produkt von S auf minus 1 mit S die Identitätsmatrix ist.

Und diese Matrix D ist eine Diagonalmatrix, das heißt, die hat nur Einträge auf die

Diagonalen.

Das schreibe ich noch ganz kurz hin.

Also diese Matrix D hat Lambda 1 und lauter 0, Lambda 2 auf dieser Diagonalen, 0, 0 und

so weiter.

Und nur die Diagonale selbst ist besetzt mit diesen Diagonaleinträgen Lambda 1 bis Lambda

n.

Und ich möchte jetzt gerne veranschaulichen, dass das nicht nur eine Zerlegung der Matrix

ist, die man um ihre selberwilligen Herdleitungen leitet, sondern dass diese Diagonalisierung

oder diese Zerlegung, diese drei Matrizen im Wesentlichen genau die charakteristische

Zerlegung der Matrix A ist.

Und zwar die Spektralzerlegung von A.

Wir schauen uns das an, was A mit Vi macht.

Nun wir wissen natürlich, dass A mal Vi gleich Lambda i mal Vi ist, was hier am Schluss rauskommt.

Aber jetzt ganz unabhängig davon, dass wir das eigentlich wissen sollten, können wir

uns diese Zerlegung hier anschauen und sehen, was passiert, wenn wir diesen Vektor Vi nach

und nach mit diesen drei Matrizen multiplizieren.

Und das erste ist, S auf minus eins mal Vi ist der Vektor, der genau eine Eins an der

Ithenstelle hat.

Und warum ist das so?

Nun ja, wir wissen, dass S auf minus eins mal S die Identitätsmatrik ist.

Und was bedeutet das genau?

Also S auf minus eins ist, dass wir hier stehen und S ist die Matrix, die in ihren Spalten

diese Vektoren Vi eins bis Vn hat.

Also das ist jetzt hier kein Vektor, sondern diese V1 bis Vn sind ebenfalls Vektoren, so

dass das hier eigentlich eine Matrix ist.

Das bedeutet, wenn wir uns nur für S auf minus eins mal Vi interessieren, wie kann man

sich das hier am besten vorstellen?

Also S auf minus eins ist eine Matrix, die sieht ja, die hat hier Einträge, hier, hier,

hier, hier.

Und hier sind diese V1 mit diesen Einträgen hier und so weiter.

Und hier ist dann Vi, das ist diese Matrix Vi und dann schließe ich Vn, auch diese Vektor

Vn.

Und das Produkt von S auf minus eins mit Vi ist genau, wenn man sich diese grafische

Produktregel sich vorstellt, also das hier mal das hier und das hier mal das hier und

so weiter.

Das ist gerade die Ithe-Spalte der Identitätsmatrix und die Ithe-Spalte der Identitätsmatrix

ist gerade der Vektor mit eins an der Ithe-Stelle.

Also S auf minus eins von Vi ist gerade, ich sage jetzt mal, das unvollständige Produkt