Also guten Morgen, wir werden ja immer zahlreicher, immer mehr gebrauchen das Video oder so.

Oder auch nicht. Naja, also ich habe gestern noch diesen Satz 420 gemacht mit über das kleinste

gemeinsame Vielfache, wie wir das mittels ja eigentlich Grünfaktorserlegung machen können.

Dazu jetzt erst noch mal ein Beispiel und so weiter. Zum Beispiel der KGV, oder das KGV von 120 und 315.

Ja, dann überlegt man sich, wie kann man Zahlen zerlegen. Da steckt sicherlich die 5 drin und da

steht also hier ist, also was ich zuerst sehe, ist es natürlich, dass 10 mal 12 ist. Hier sehe ich,

dass eine 5 drin ist, weil am Ende eine 5 ist. Also 5 mal 63 kriegt man raus. Ich kann hier in der 10

steckt natürlich auch wieder eine 5 drin. Also ziehe ich die raus nach Teil 2 in dem Satz. Also

hat man dann schon mal kleinere Zahlen. 5 mal das KGV von, ja wir haben 12, also 2 ist noch da.

Schreibe ich mal 2 mal 12 hier, was hier übrig ist. Und hier ist die 63. 63 ist 3 mal 21. Da haben wir

aber auch noch mal eine 3 drin. Da haben wir ja 3 mal 4, also kann man noch eine 3 rausholen.

Dann haben wir hier 5 mal 3 und das KGV von, das ist dann 2 hoch 3. Und hier haben wir 3 mal 7.

Die sind jetzt sicherlich teilerfremd. Dann können wir nach dem dritten Teil in dem Satz hier

einfach das Produkt nehmen und man hat 5 mal 3 mal 2 hoch 3, noch eine 3, also hier hoch 2 mal 7.

Hätte man auch natürlich genauso hingekriegt, wenn wir vorher die, also wie ich es vorher gemacht

habe, direkt Triebfaktorzerlegung und dann sucht man sich die auch raus, aber mit dem immer sozusagen

linear rausziehen, das ist das gleiche Beispiel wie vorher nur, aber ich habe es jetzt so ein bisschen

anders gemacht. Immer durch dieses rausziehen. Andere Methode, wie man den KGV berechnen kann,

sobald man einen Algorithmus kriegt, dazu ein Einführungsbeispiel. Und zwar ist das mit dem Zusammenhang

zum größten gemeinsamen Vietfalteteiler zu Zusammenhang KGV und GGT.

Wenn wir uns beispielsweise die Zahlen 4 und 12 anschauen, da wissen wir, dass der GGT von 4 und 12

sicherlich 4 ist, weil 4 ja die 12 teilt. Also das ist hier schon ein Spezialfall, da kann man das schön hinschreiben.

Dann KGV von diesen selben Zahlen 4 und 12. Naja, 4 steckt auch hier drin, dann könnten wir sozusagen

mit 4 rausziehen, dann haben wir noch 1 und 3, dann müssen wir das Produkt nehmen, das ist das 3,

also es kommt eigentlich 4 mal 3, also 12 selber raus. Dann sehen wir, wenn wir die multiplizieren,

den GGT und das kleinste gemeinsame Vielfache, dann wäre das 4 mal 12. Aber 4 mal 12 ist nichts anderes als die Zahlen,

die A und B genannt hatten, A gleich 4 und B gleich 12, ist das das Produkt von A und B.

Das kann man hier, das ist natürlich sofort für Allgemeiner, das ist, weil es, also leicht für Allgemeineren,

genauso kann man rechnen, wenn man immer A, B teilt, dann gilt, dass der GGT von A und B ist dann ja A,

KGV von A und B ist dann B und dann folgt das Produkt GGT von A und B mal KGV von A und B,

sicherlich das Produkt der beiden Startzahlen ist. So, und das gilt nicht nur in dem Spezialfall,

dass wir schon eine talere Relation haben, sondern das gilt allgemein und das hilft dann natürlich den KGV berechnen.

Das ist der Satz 4, 21. Für alle natürlichen Zahlen A und B gilt, dass der GGT von A und B im Produkt

mit dem KGV von A und B gleich A mal B ist. Nach dem Ganzen, was wir vorher gemacht hatten,

war das vorher natürlich auch schon irgendwie naheliegend. Der Beweis ist am einfachsten, finde ich,

wenn man diese Printzahl-Produkt-Schreibweise wieder nimmt, da hatten wir ja schon einmal die Darstellung

GGT, da musste man in den Exponenten immer das Minimum der beiden Exponenten nehmen und hier das Maximum

und dann muss man das hier noch mal hinschreiben.

Wir nehmen an A ist das Produkt I gleich 1 bis unendlich P I M I. B ist das Produkt I gleich 1 bis unendlich P M I.

Dann, ich schreibe das gleich, machen wir es ausführlich, GGT von A und B hatten wir in irgendeinem Satz

vor längerer Zeit, ist das Produkt I gleich 1 bis unendlich P I und da nimmt man das mit, ich habe jetzt einmal,

das sollte ein N sein, man B, wie im Alphabet erst M und dann N und erst A und dann B, das ist das System hier.

Jetzt nimmt man bei GGT das Minimum, Minimum M I N I. Gestern haben wir gesehen, beim KGV ist es das Maximum

P I das Maximum von M I und N I. Also wenn wir nur zwei Zahlen haben, dann ist die Summe aus Minimum von A und B

plus dem Maximum von A und B sicherlich gleich, ach so M soll es nicht A und B nennen, sondern M I und N I und hier ist es auch M I und N I.

Das gilt jetzt also für jedes Paar von Exponenten. Minimum plus Maximum ist die Summe der Zahlen selber.

Jetzt bei 02, also das hier ist ja angenommen M wäre größer, dann hätten wir hier N, also das N I und hier beim Maximum hätten wir das M I

und das vertauscht sich nur, wenn die größten Verhältnisse anders sind. Wenn sie gleich sind, macht das auch nichts, denn dann steht beides mal das gleiche da.

Also dann haben wir zweimal M I, weil das beides, weil M I gleich M I ist. Ja, damit ist natürlich folgt alles, GGT von A und B mal KGV von A und B.

Wir nehmen das Produkt hiervon und hiervon, das heißt Produkt P I und da muss man ja nur die Exponenten addieren. Max M I N I plus Min M I N I