So, einen guten Nachmittag. Letzte Woche für Weihnachten, letzte Woche in diesem Jahr. Heute

steht jetzt erst einmal die Übung, das Übungsplatz 7, was ein paar Leute abgegeben haben. Zur

Korrektur an, fange ich damit an. Übungsblatt 7, Aufgabe 1. Ja, also bei Aufgabe 1 und Aufgabe 2

sollte so ein bisschen geübt werden, sich an die Konkurrenz zu gewöhnen, damit rumzurechnen.

Und es war zu beweisen die folgende Behauptung, alle ungeraden, ungeraden Quadratzahlen

sind Konkurrent. 1 modulo 8. Okay, wir nehmen eine Quadratzahl. Wenn diese Quadratzahl ungeraden

ist, also ungerade, dann muss natürlich schon Q und gerade sein. Wenn Q ungerade ist, dann können

wir schreiben, Q ist von der Form 2 mal n plus 1. Es gibt ein n mit einer natürlichen Zahl n. So,

jetzt kann diese Zahl n da drin gerade sein oder ungerade sein. Also das würde man natürlich,

wenn man so rumrechnet, vielleicht erst später sehen, dass das jetzt gut wäre,

darüber Bescheid zu wissen. Aber ich weiß, dass im Vorfeld, ich habe es mir ja schon vorher

überlegt, also ich weiß, dass n oder, ja, n ist gerade oder ungerade, ich kann das aber auch so

schreiben, n oder n plus 1 sind gerade. Das ist äquivalent natürlich. So, wenn entweder n oder

n plus 1 gerade ist, was natürlich selbstverständlich ist, dann ist das Produkt sicherlich gerade.

N mal n plus 1 ist gerade. Ja, wenn n mal n plus 1 gerade ist, dann, das heißt ja gerade,

dass 2 ein Teiler von n mal n plus 1 ist. Und wenn ich jetzt hier auf beiden Seiten 4 multipliziere,

dann folgt natürlich daraus, dass 8 ein Teiler ist von 4 mal n mal n plus 1. Also da sind 4 dran

und da sind 4 dran. Dann bleibt natürlich das Teilungsverhältnis erhalten. So, das ist jetzt

die Vorbereitung, die ich mache. Jetzt gehe ich wieder hier zu der ungeraden Quadratzahl, setze

einfach das ein und multipliziere das nach der binomischen Formel aus. Also q² ist 2 mal n plus

1². Wenn ich das ausmultipliziere, habe ich 4n plus 2 mal 2, also 4n², Entschuldigung, und jetzt

hier als nächstes kommt 4n und hinten plus 1. Und hier klammer ich eben aus, also da ist natürlich

dieser Ausdruck gerade, da klammer ich die 4 aus und n aus und es steht noch n plus 1 und hinten

steht die 1. Damit sind wir fertig. Dieses hier ist ein Vielfaches von 8. Hier ist die 1, damit ist das

Kongroent 1 modulo 8. Das ist jetzt irgendwie, also ich finde einigermaßen vernünftig, also jetzt

hier in Stichworten, ich habe es so ein bisschen ausformuliert in meinem Text, so kann man das

vernünftig aufschreiben. Natürlich ist das nicht die Reihenfolge, wie man drauf kommt. Wie man drauf

kommt ist sicherlich, also das erste ist, wir starten mit einer Quadratzahl, dann, wenn man sich

überlegt, dass die ungerade ist, dann kommt man da drauf, dann kommt man da drauf und dann sicherlich

auch, als ich das erste Mal aufgeschrieben habe oder mir überlegt habe, war ich dann hier und

war sofort hier. Dann multipliziere ich das natürlich aus und dann überlege ich mir das hier irgendwie

und komme zum Beispiel hier drauf. Also dann sehe ich, dass ich untersuchen muss, ob 4n mal n plus 1,

also das, was ich herweghaben will, bis auf die 1. Ob das in der Art oder also ob ich es so besser sehe,

dass es ein Vielfaches von 8 ist und dann kommen diese Überlegungen nur, wenn man Zeit hat und das

ordentlich aufschreiben will, finde ich es so eigentlich besser, weil man dann hinterhin

einen weg das durch, also fertig schreiben kann. So das wäre, ich glaube, viel anders kann man nicht

argumentieren, das kann ein bisschen anders aufgeschrieben werden, aber mehr oder weniger

geht das wahrscheinlich nur so. So die nächste ist irgendwie ähnlich. Aufgabe 2, da war zu

überprüfen für eine Primzahl, p größer 2 gilt immer, p ist Konkurrent, plus oder minus 1 modulo 4.

Ja also Primzahl p größer 2, sei das also. Dann wenn ich von einer Zahl, egal ob Primzahl oder

nicht, die Restklasse modulo 4 nehme, das schreibe ich mal so aus, modulo 4 kommt hier hin, dann

steht da hier eine Zahl und wir hatten letzte Woche gesehen, da können wir einen Repräsentanten

nehmen, a aus, ja diese Standardrepräsentanten sind 0, 1, 2 oder 3. Jetzt, also das ist jetzt unabhängig

vom Primzahl sein, wenn ich jetzt wieder überlege, dass das eine Primzahl ist, dann fällt natürlich

0 und 2 weg, sonst wäre die Zahl gerade. Also a ist sicherlich ungleich in 0 oder 2, sonst p gerade,

oder 2 teilt p und das ist ja eine Primzahl und es ist keine gerade Primzahl wegen dieser Einschränkung,

also das fällt weg, das heißt a ist entweder 1 oder 3 und das sind gerade diese Fälle, die man

dann ein bisschen anders hinschreiben kann. Also wenn a gleich 1 ist, also der Fall gleich 1, ist klar,

dann steht dort p ist kongruent 1 mod 4 und wir sind fertig. Wenn a gleich 3 ist, dann kann ich

auch schreiben 3 mod 4, aber ich kann dann natürlich auch 3 minus 4 mod 4 raus machen, also ich kann ja