Dieser Audiobetrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also ich wollte noch mal das Thema Optimierung wiederholen und dann noch einen kleinen Ausblick geben.

Also warum ist Optimium wichtig? Wenn man so Chef ist irgendwo, muss man oft Entscheidungen treffen

und dann hat man keinen Durchblick, was überhaupt los ist in dem Unternehmen vielleicht und dann ist

man froh, wenn man irgendwie ein Werkzeug hat, um sich sinnvolle Alternativen herauszusuchen und

dann kann man ja aus diesen sinnvollen Alternativen das Beste auswählen und das macht ja dann auch

die gute Chefin oder den guten Chef aus. Und ja, wie bekommen sie diese besten Alternativen?

Die bekommen sie durch Optimierungsprobleme. Also sie brauchen irgendein Modell mit Daten,

was los ist im Unternehmen, sonst kann es nicht funktionieren und wählen dann die Möglichkeiten

oder aus den Möglichkeiten aus, wo klar ist, für gewisse Zielfunktionen gibt es halt nichts

besseres. Das ist jetzt abstrakt gesprochen, konkreter, also wenn sie zum Beispiel einige Parameter im

Motor haben, die verändert werden können, also irgendwelche Durchmesser von Rohren oder Längen,

also dann können sie ja mit den Simulationen arbeiten, die für den Motor schon vorhanden sind,

also das wird ja nicht neu erfunden, da gibt es ja Simulationsprogramme und dann kann man damit

optimieren und erstmal in dem Modell eine sinnvolle Alternative generieren, wo zum Beispiel

eine gewisse Leistung vorgegeben ist, also die muss erreicht werden, aber dabei wird der

Startstoffausstoß minimiert oder so etwas. So und dann lassen sie das implementieren und dann wird

da was ausgerechnet und wenn das einigermaßen vernünftig aussieht, kann man danach mal so ein

Modell auch bauen, aber der Witz ist, in der Optimierung können sie alle möglichen Möglichkeiten

durchspielen, ohne dass sie dafür jedes Mal ein Modell bauen müssen, also das ist viel preisgünstiger,

da alles mögliche durchzuspielen auf dem Computer, als wenn sie echte Prüfmodelle bauen und ja,

deshalb ist die Optimierung für sie wichtig als Entwicklungsinstrument. Und wir haben mit der

unrestringierten Minimierung begonnen, unrestringierte, da haben sie keine Restriktionen,

das ist natürlich nicht wirklich realistisch, aber wir beginnen hier halt mit dem einfachen Fall.

Und da sieht so ein Optimierungsproblem folgendermaßen aus, minimiere über alle

x aus dem r hoch n die Funktion f von x. Also da können die Kosten drin stecken in dieser Funktion,

die wird dann gewichtet mit dem Schadstoffausstoß, zum Beispiel auch minimiert werden soll und so

weiter. Also durch geschickte Modellierung kann man in diese Form auch schon eine ganze Menge von

Anwendungsproblemen bringen und dazu gibt es dann notwendige Optimalitätsbedingungen.

Und die haben hier die Form Gradient nabla f an der Stelle x gleich 0. Also wenn ein Punkt

im Rahmen des Definitionsbereichs der differenzierbaren Funktion f eine Lösung dieses

Minimierungsproblems ist, dann erfüllt dieser Punkt auch die notwendige Optimalitätsbedingung,

dass der Gradient dort verschwindet. Und das sind auch schöne Aufgaben mit konkreten Funktionen,

das sind jetzt allerdings keine Anwendungsbeispiele, sondern erst mal Rechenbeispiele natürlich.

Da habe ich noch ein Beispiel mitgebracht, also eine Funktion, wo wir die Rechnung mal

durchführen können. To minimieren ist die Funktion f von x, y und z ist gleich 1 plus z

Quadrat mal den Logarithmus von 1 plus x Quadrat minus Logarithmus von 1 plus y Quadrat mal x Quadrat.

x Quadrat hat nur positive Werte, deshalb haben wir hier kein Problem mit dem Definitionsbereich,

das Logarithmus. In dem Logarithmus stehen hier immer nur positive Argumente, also wir können diese

Funktion überall auswerten. Wenn man jetzt die stationären Punkte bestimmen will,

da muss man ja die Gradienten gleich 0 setzen. Also Nabla f von x, y, z gleich 0 und damit man

die Gradienten 0 setzen kann, muss man sie erstmal ausrechnen. Also machen wir das für die konkrete

Funktion. Also hier haben wir eine Funktion von drei Variablen x, y und z, da müssen wir also

drei partielle Ableitungen bestimmen und erstmal nach x partiell differenzieren. Dann ist ja das z

eine Konstante, dann haben sie hier 1 plus z Quadrat als Vorfaktor, der ist ja unabhängig von x,

der bleibt einfach stehen und dann kommt der Logarithmus von 1 plus x Quadrat und den müssen

sie jetzt nach welcher Regel ableiten? Ja und dann was steht in dem Logarithmus? Genau,

das war das. Also die Kettenregel ist wichtig. Also das nachdifferenzieren kann man leicht

vergessen, dann schreibt man 1 durch 1 plus x Quadrat und denkt man ist fertig, aber man ist

noch gar nicht fertig und das sagt gerade die Kettenregel. Also das ist ein ganz wichtiger