Dieser Audiobeitrag wird von der Universität

Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen.

Können wir anfangen?

perturbiert

Gestern haben wir uns einem ziemlich

Aufstieg zugemutet, aber jetzt sind wir

fast oben. Heute geht's noch ein kleines

bisschen rauf, dann werden wir mehr oder minder auf gleicher Ebene bleiben und morgen kommt nochmal

der letzte Angriff auf den Gipfel. Okay, also wo sind wir jetzt angelangt? Wir haben jetzt die

reellen Zahlen konstruiert und in dem Moment, wo wir sie konstruiert haben, können wir eigentlich

auch diese Konstruktion wieder vergessen. Was wir wissen, müssen sie natürlich die Eigenschaften,

das was die reellen Zahlen einzigartig macht, nämlich es ist ein Körper, gut, gibt es viele,

es gibt auch Körper, die wir nicht besprochen haben, es gibt auch endliche Körper, die auch

eine wichtige Rolle spielen, zum Beispiel in der Kryptographie. Sie sind angeordnet, er ist

angeordnet, verträglich angeordnet, total angeordnet, archimädisch, bis zu dem Punkt können

sozusagen die rationalen Zahlen miterhalten, die haben alle auch diese Eigenschaften und jetzt

kommt der wesentliche Schlussstein, nämlich der Körper ist vollständig. Wobei vollständig

jetzt in unsere Begrifflichkeit heißt, jede Koji-Folge konvergiert. Dazu brauchen wir also

einen Abstand, den Abstand bekommen wir über den Betrag, den Betrag bekommen wir über die Ordnung.

Man könnte aber, man sieht aber, dass dieser Vollständigkeitsbegriff insofern allgemeiner

ist, dass man auch gar keine Ordnung braucht auf der Menge, sondern man braucht eben nur einen

Abstandsbegriff und wie und auf der Menge der Vektoren, der Pfeilchen, der Tupel, ich appelliere

jetzt ein bisschen an Kenntnisse der Wecklerrechnung, haben sie einen Abstand, nämlich einfach den

euklidischen Abstand zwischen zwei Punkten, aber sie haben keine Ordnung, zumindest keine

vollständige Ordnung. Okay, es gibt da noch andere Vollständigkeitsbegriffe, es gibt den Begriff der

Ordnungsvollständigkeit. Bei der Ordnungsvollständigkeit bezieht man sich nur auf eine geordnete Menge und

sagt, die ist dann ordnungsvollständig, wenn sie folgende Eigenschaft hat, jede nach oben beschränkte

nichtleere Menge hat ein Supremum oder man kann auch sagen, jede nach unten beschränkte nichtleere

Menge hat ein Infimum. Das heißt also, es gibt nicht nur obere Schranken, das ist natürlich

der Begriff der Beschränktheit, der nach oben beschränkt hat, sondern und nicht nur obere

Schranken, die beliebig dicht an die Menge herankommen, sondern es gibt eben die kleinste

obere Schranke. Und dann gibt es noch eine dritte Variante, die man vielleicht sogar noch ein bisschen

anschaulicher findet und das ist das Prinzip der Intervallschachtelung und das Prinzip der

Intervallschachtelung haben wir schon als Verfahren gemacht und wir werden da noch mal drauf zurückkommen

gleich. Intervallschachtelung heißt, wenn ich eine Intervallschachtelung habe, was das genau ist,

werde ich dann konkret noch mal an dem Beispiel sagen, dann schließt diese Intervallschachtelung

genau eine Zahl ein. In den rationalen Zahlen hatten wir eben die Intervallschachtelungen,

die die nicht existente Wurzel 2 eingeschlossen haben. All diese drei Begriffe sind äquivalent

in unserem Rahmen. Das wollen wir jetzt nicht weiter verfolgen. Also wir können jetzt frei mit

denen umgehen. Es gibt auch andere Konstruktionsprinzipien der reellen Zahlen, die

mehr in diese alternativen Richtungen gehen. Ich will bloß mal die Namen nennen. Das eine

sind die sogenannten Dedekindschen Schnitte und das andere ist eben genau die Konstruktion von

reellen Zahlen über Intervallschachtelungen. Ich habe lange überlegt, welche Variante ich nehme,

aber ich habe auch die Dedekindschen Schnitte nicht für wirklich einfacher dann am Schluss

gehalten. Und gut, okay, jetzt rede ich die ganze Zeit von den reellen Zahlen. Auch das ist

gerechtfertigt, denn man kann sich überlegen, es gibt sozusagen nur ein Exemplar, was all diese

Anforderungen, die wir jetzt noch mal zusammengefasst haben, erfüllt. Das heißt also,

man kann natürlich bis auf Umbenennung, bis auf neues Anstreichen, neue Kleider anziehen. Etwas

mathematischer gesprochen, wenn ich irgendeinen Körper habe, der all diese Eigenschaften beinhaltet,