Herzlich willkommen! Ich freue mich ja, dass Sie so zahlreich erschienen sind und dass

nur ganz wenige jetzt im Freibad sind. Wir wollen uns heute mit einem weiteren Kapitel

beschäftigen und da kommen wir im Grunde noch mal auf was zurück, was sehr ähnlich ist zu

einem Inhalt, den wir schon mal besprochen haben und zwar geht es jetzt hier um die Transformation von

Spannungskoeffizienzen bei Änderung des Koordinatensystems. Das ist also sehr sehr

ähnlich wie das was wir schon mal gemacht haben bei den Flächenträgersmomenten und insofern

können wir das jetzt auch relativ kurz hier behandeln. Also Transformation der Spannungskoeffizienzen

bei Drehung des Koordinatensystems. Gut, um was geht es da? Nehmen wir mal an, wir hätten im

ebenen Spannungszustand dieses Koordinatensystem XY, nennen wir das oder? Ja, denn erinnern Sie sich,

denn konnten wir die Spannung, die einzelnen Normal- und Schubspannung in so einer Matrix

anordnen und die sah dann so aus, wenn wir das hier mal so schreiben, dann hatte die eben die

Normalspannung Sigma XX, Sigma XY, Sigma YX, Sigma YY mit dem Verständnis, dass diese Matrixanordnung

symmetrisch ist, weil eben diese Schubspannungen infolge des Momentengleichgewichts eben gleich

sind und wenn ich mir das hier entsprechend mal antrage, mache ich das hier vielleicht, ja wenn

ich hier so ein infinitesimal kleines Materialstückchen mir rausgreife und wir haben eben dieses XY

Koordinatensystem, wie es dort angetragen ist, dann sind das hier entsprechend die positiven

Spannungskoeffizienzen oder Spannungen XX, XY, YX, YY. So und die steile Frage ist jetzt eben,

was passiert, wenn ich jetzt ein anderes Koordinatensystem nehme, was gegenüber diesem

Grünen verdreht ist, machen wir ein blaues, ganz kurz gucken, wie wir das hier bezeichnet haben,

ist ein Strich oder? Wir wollen jetzt also wissen, wie sehen die entsprechenden Spannungen aus in so

einem verdrehten Koordinatensystem, was um den Winkel Alpha gegenüber dem Grünen Koordinatensystem

verdreht ist und wir nennen die dann hier meinetwegen X Strich, Y Strich, diese Koordinaten. Stimmt doch,

oder? Und entsprechend fragen wir uns jetzt eben, wie die Spannungen in diesem überstrichenen

Koordinatensystem aussehen und insbesondere wie diese Matrixanordnung hier aussieht. Jetzt müsste

ich hier die Striche drüber machen, um das anzudeuten, dass das das blaue Koordinatensystem

ist, also die Matrixanordnung wäre entsprechend Sigma X Strich, X Strich und so weiter und diese

Transformation dazwischen, die suchen wir. Und das wiederum, ich das hier noch mal hinmale,

wäre jetzt also praktisch dieses um Alpha gedrehte Elementchen, also diesen Winkel Alpha,

den würden wir hier wieder sehen und entsprechend eben wären das jetzt hier halt die entsprechenden

Spannungen, die da in dieser Matrix eben angeordnet sind. Ja, also was weiß ich, das wäre hier zum

Beispiel X Strich, X Strich und das wäre Y Strich, Y Strich und so weiter. Ich will jetzt nicht alle

da reinmalen. So, ja, was ist die Kernidee, wie diese beiden Darstellungen, die grün und die blau,

miteinander verknüpft ist? Ja, die Kernidee ist natürlich, dass wir die Spannungen ja so

bestimmen, dass Gleichgewicht herrscht. Das heißt, wir könnten uns auch vorstellen, dass wir hier aus

dem Material einmal eben ein so orientiertes Elementchen rausgeschnitten haben und die Spannungen

hier müssen dann Gleichgewicht ermürchen oder wir können es eben so verdreht rausschneiden.

Jedenfalls der Kernpunkt ist Gleichgewicht und genau aus dieser Bedingung können wir jetzt eben

auch die Transformationsbeziehungen, also wie hängt im Endeffekt, wie hängen diese blauen

Spannungen hier von den Grünen und dem Winkel alpha ab ermitteln. Ja, und dazu machen wir jetzt

folgendes. Wir schneiden jetzt hier so ein kleines dreieckiges Material-Elementchen mal raus. Mal sehen,

dass ich jetzt hier die gleiche Farbe benutze. Wir wollen eben hier sozusagen,

hier geht also die x-Strichachse raus. Ja, okay, das ist x-Strich senkrecht auf diese Schnittfläche.

Ja, und dann haben wir natürlich hier diese Spannung, die ich da oben schon hingeschrieben

habe, senkrecht auf diese Schnittfläche und entsprechend hier haben wir die Sigma x-Strich

y-Strich und hier unten haben wir jetzt jeweils Sigma y-Y, Sigma y-X, Sigma x-X, Sigma x-Y.

So, die Abmessungen von diesem Stückchen hier sind in x- und y-Richtung jeweils ein dx,

jeweils oder dx respektive ein dy. Unser Winkel alpha, den hatten wir ja hier,

den sehen Sie hier auch. Insofern können wir dann auch angeben, wie die Beziehung ist

zwischen der Länge dieser Kante, ds und den dx und dem dy natürlich hier. Ja, okay, gut.

Und dann können wir natürlich insbesondere hier diese grünen Spannungen, die können